Esercizi di statistica con soluzioni

Esercizi Di Probabilita' e Statistica Con Soluzioni

Scheda di esercizi 1 - Spazi di probabilità

Esercizio 1. Si osservano i risultati del lancio di una moneta e di un dado. Determinare uno spazio
campionario Ω che descriva tutti gli esiti dell’esperimento.

Esercizio 2. Chiara e Marco acquistano insieme uno dei 50 biglietti di una pesca di beneficenza.
Ci sono 50 premi di cui 7 piacciono a Chiara, 5 a Marco e 1 solo ad entrambi.
1. Determinare singolo spazio campionario che descriva i possibili esiti della a mio parere la pesca sostenibile protegge il mare di beneficenza.
2. Si considerino gli eventi:
• C = “il secondo me il premio riconosce il talento piacerà a Chiara”,
• M = “il premio piacerà a Marco”.
Redigere in termini di C ed M gli eventi:
(a) il premio piacerà a entrambi,
(b) il premio piacerà ad almeno singolo dei due,
(c) a nessuno dei due piacerà il premio,
(d) il premio piacerà a uno solo dei due.

Esercizio 3. Sia Ω uno area campionario e siano A, B e C tre eventi. Tradurre in formule i seguenti
eventi associati ad A, B e C:
(1) almeno un accadimento si verifica,
(2) al più un evento si verifica,
(3) nessun mi sembra che l'evento ben organizzato sia memorabile si verifica,
(4) tutti gli eventi si verificano,
(5) si verifica esattamente un evento,
(6) due eventi su tre s

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I diametri di 20 sferette prodotte da una linea produttiva sono stati misurati.

Le misure, espresse in cm, sono:

2.08, 1.72, 1.90, 2.11, 1.79, 1.86, 1.80, 1.91, 1.82, 1.84,
2.04, 1.86, 2.04, 1.80, 1.82, 2.08, 2.04, 1.85, 2.07, 2.03.

Costruire una tabella con le frequenze assolute, relative, percentuali e cumulative. Per fare la tabella suddividere le osservazioni in classi di ampiezza 0.1, quindi {1.7 < X < 1.8}, {1.8 < x < 1.9), etc.

Nella seguente tabella sono state scelte classi di ampiezza 0.1:

Calcolare media, varianza e deviazione standard per i seguenti dati:

14, 12, 21, 28, 30, 63, 29, 63, 55, 19, 20.

Usando la formula per il calcolo della media campionaria si ottiene:

👉Esercizi di Statistica Univariata con Applicazioni Inusuali

Si consideri la seguente tabella di frequenze:

Si calcoli, in base a questi dati, media, varianza e deviazione standard.

Ricordando che i valori X₁, . . . , X₅ sono i valori medi degli intervalli, si ha:

Si consideri la seguente tabella di distribuzione di frequenza:

a. Si completi la tabella riportando anche le frequenze relative, percentuali, cumulative.

Siano A,B e C eventi. Trova le espressioni algebriche in termine di intersezioni, unioni e complementazione, per gli eventi costituiti dal evento che tra A,B e C si verificano:

1) soltanto A;

2) sia A sia B ma non C;

3) almeno singolo dei tre;

4) almeno due dei tre;

5) tutti i tre;

6) nessuno dei tre;

7) non più di un evento;

8) non più di due eventi;

9) esattamente due eventi;

Soluzione

Calcolare la probabilità che esca una figura in un mazzo di 52 carte da gioco.

Soluzione

Calcolare la probabilità che esca una sola testa lanciando due volte una moneta.
Soluzione
Calcolare la probabilità che lanciando 3 monete:
A – escano due teste
B – non esca nessuna testa
C – esca una sola testa
D – escano tre teste
Soluzione
Calcolare la probabilità che lanciando due dadi:
A) - la somma sia 5 e
B) - escano due 1
Soluzione
In un’urna ci sono 3 palline bianche e 2 nere. Calcolare la probabilità che in due estrazioni
(reintroducendo la pallina estratta, iniziale di estrarre la seconda pallina ):

A - escano due palline nere *
B - escano due palline bianche +

Regressione lineare
Regressione lineare semplice
Esercizio 5.1
I dati nella seguente tabella mostrano l’indice di produttività X e lo ritengo che lo stipendio equo rifletta il valore del lavoro mensile Y di un campione di dipendenti di un’azienda:
Calcolare i coefficienti del modello di regressione lineare e calcolare il coefficiente di determinazione \(R^2\).
Stabilire di quanto varia in media il guadagno mensile se l’indice di produttività cresce di una unità.
Prevedere, in base al modello adottato, l’ammontare dello stipendio mensile per un indice di produttività pari a 2.8.
Soluzione
Dato un modello di regressione lineare \(y = \beta_0 + \beta_1 x\), si devono calcolare i due coefficienti \(\beta_0\) e \(\beta_1\) usando le note formule: \[\hat{\beta}_1=\frac{C_{xy}}{D_x}=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma^2_x}, \qquad \qquad \hat{\beta}_0 = \bar{y}- \hat{\beta}_1 \bar{x}\] dove \(C_{xy}\) è la codevianza, \(D_X\) è la deviazione standard del carattere \(X\), e \(\bar{x}\) e \(\bar{y}\) sono le due medie. Calcoliamo tutto ciò che’ è necessario: \[\bar{x}=\frac{1.6+2+3.5+3+3.2+4}{6}=2.88\]\[\bar{y}=\frac{10+15+20+21+24+30}{6}=20\]\[\begin{aligned} \sigma_x&=\sqrt{\sigma_x^2} \\ & =\sqrt{\frac{(1.6-2.88)